Puterea a cincea

Acest articol se referă la un șir de numere. Pentru a cincea putere din stat, vedeți Plutocrație. Pentru societatea medievală, vedeți Stare (Evul Mediu).

În aritmetică și algebră, puterea a 5-a a unui număr $n$ este rezultatul înmulțirii de cinci ori a lui $n$ cu el însuși, adică:

n^{5}=n\times n\times n\times n\times n.

Valoarea puterii a cincea a unui număr se poate abține și prin înmulțirea numărului cu puterea a patra a sa, sau prin înmulțirea pătratului său cu cubul său.

Șirul valorilor puterii a cincea a numerelor naturale este:^[1]

0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, 11881376, 14348907, 17210368, 20511149, ...

Proprietăți

În sistemul zecimal ultima cifră a unei puteri a cincea a unui număr este ultima cifră a numărului însuși (valabil și pentru numere fracționare).

Conform teoremei Abel–Ruffini, nu există o soluție generală care să fie exprimată prin radicali pentru ecuațiile polinomiale de gradul 5 sau mai mare. Gradul 5 este cel mai mic pentru care această afirmație este adevărată.

Împreună cu puterea a patra, puterea a cincea este una dintre cele două puteri k care pot fi exprimate ca o sumă de $k$ –1 numere la puterea $k$ , oferind contraexemple la conjectura lui Euler. Exemplu: (Lander & Parkin, 1966)^[2]

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

Note

^ Șirul A000584 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ en Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). „Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .

Bibliografie

de Råde, Lennart; Westergren, Bertil (2000). Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler (ed. 3). Springer-Verlag. p. 44. ISBN 3-540-67505-1.
de Vega, Georg (1783). Logarithmische, trigonometrische, und andere zum Gebrauche der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln. Vienna: Gedruckt bey Johann Thomas Edlen von Trattnern, kaiferl. königl. Hofbuchdruckern und Buchhändlern. p. 358. 1 32 243 1024.
de Jahn, Gustav Adolph (1839). Tafeln der Quadrat- und Kubikwurzeln aller Zahlen von 1 bis 25500, der Quadratzahlen aller Zahlen von 1 bis 27000 und der Kubikzahlen aller Zahlen von 1 bis 24000. Leipzig: Verlag von Johann Ambrosius Barth. p. 241.
en Deza, Elena; Deza, Michel (2012). Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing. p. 173. ISBN 978-981-4355-48-3.
en Rosen, Kenneth H.; Michaels, John G. (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, Florida: CRC Press. p. 159. ISBN 0-8493-0149-1.
de Prändel, Johann Georg (1815). Arithmetik in weiterer Bedeutung, oder Zahlen- und Buchstabenrechnung in einem Lehrkurse - mit Tabellen über verschiedene Münzsorten, Gewichte und Ellenmaaße und einer kleinen Erdglobuslehre. Munich. p. 264.

Vezi și

Funcție algebrică de gradul al cincilea

Portal Matematică

[1] Șirul A000584 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[2] Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). „Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .

[1]

[2]